UD.4 Relacions geomètriques i transformacions. De quines formes podem modificar una forma geomètrica?

UD.4 Relacions geomètriques i transformacions. De quines formes podem modificar una forma geomètrica? 

Quines transformacions geomètriques existeixen?

Una transformació geomètrica és l’operació necessària per convertir una figura donada en una altra figura que tingui unes característiques determinades.

Segons les relacions mètriques que tingui la figura transformada respecte a la figura inicial, poden ser: isomètriques, isomòrfiques i anamòrfiques.

Transformacions isomètriques: es caracteritzen per conservar magnituds i angles de la figura d’origen o inicial. Aquestes transformacions isomètriques són la igualtat el gir o rotació, la translació i la simetria.

Transformacions isomòrfiques: es caracteritzen per mantenir la forma de la figura d'origen, els angles iguals i les magnituds proporcionals. Aquestes transformacions isomòrfiques són l'homotècia i la semblança.

Transformacions anamòrfiques: aquest cas es caracteritza pel fet que la figura transformada és diferent respecte de la figura d'origen. Com exemple d'aquest tipus de transformació geomètrica tenim la equivalència, la homologia i l’afinitat.

A continuació veurem en detall algunes d’elles.

IGUALTAT

Dues formes són iguals quan tenen la mateixa forma i la mateixa grandària.

D'aquesta manera dues figures geomètriques són iguals quan tenen els costats i els angles iguals.

TRANSLACIÓ

Una translació és un moviment que conserva la forma, la grandària i l'orientació de les figures, és una transformació isomètrica directa. Queda definida quan coneixem un parell de punts relacionats per translació, o quan coneixem la direcció i el sentit de la translació.

GIR

És una transformació que fa correspondre a cada un punt un transformat segons un angle de gir α, un sentit i un centre de gir O. Aquestes transformacions poden ser positives o negatives depenent del sentit de gir. Per al primer cas ha de ser un gir en sentit contrari a les agulles del rellotge, i serà negatiu el gir quan sigui en sentit de les agulles.

Quan girem una forma plana tots els vèrtexs giren el mateix angle i en el mateix sentit, en relació al centre de gir. El centre de gir pot estar sobre la figura exterior o interior a ella.

SIMETRIA

Hi ha dos tipus de simetria l’axial i la central. Hi un tercer tipus anomenat radial on s’hi combinen diferents transformacions.

Simetria axial 

La simetria axial, en geometria, és una transformació respecte d'un eix de simetria , en la qual, a cada punt d'una figura s'associa a un altre punt anomenat imatge, que compleix amb les següents condicions:

a) La distància d'un punt i la seva imatge a l'eix de simetria, és la mateixa.

b) El segment que uneix un punt amb la seva imatge, és perpendicular a l'eix de simetria.

Una de les principals aplicacions és en la resolució de problemes on s’ha de trobar les trajectòries més curtes per anar d’un punt a un altre.

Si s'aplica la mateixa simetria dues vegades, s'obté una identitat.

Si s'apliquen dues simetries respecte d'eixos paral·lels, s'obté una translació el desplaçament és el doble de la distància entre aquests eixos.

Si s'apliquen dues simetries respecte d'eixos que es tallen a O, s'obté gir amb centre a O, l'angle és el doble del que formen aquests eixos.

Simetria central

La simetria central, en geometria, és una transformació en la qual a cada punt se li associa un altre punt, que ha de complir les següents condicions:

a) El punt i la seva imatge estan a igual distància d'un punt anomenat centre de simetria.

b) El punt, la seva imatge i el centre de simetria pertanyen a una mateixa recta.

La simetria central és un cas particular de la homotècia.

Una aplicació de la simetria central és en la creació d'ambigrames. Són figures visuals que si es miren del dret i del revés (gir de 180º)  tenen significat simbòlic.

Simetria radial

Aquets tipus de simetries combinen una simetria axial i gir. Un exemple d’aplicació en son els polígons estrellats o les rosasses de les esglésies.

SEMBLANÇA

Les formes semblants tenen la mateixa forma però diferent grandària.

D'aquesta manera dues figures geomètriques són semblants quan els seus costats són proporcionals i els seus angles iguals.

HOMOTÈCIA

Una homotècia és una transformació geomètrica que fa correspondre a cada punt A un altre punt transformat A' alineats amb el centre d'homologia O i on es verifica que K=OA'/OA .

En una homotècia hi ha una relació de semblança entre l'objecte original i el transformat.

AFINITAT

Una afinitat és una transformació geomètrica que fa correspondre a cada punt A un altre punt transformat A' situats sobre una recta paral.lela a una direcció d'afinitat.

Dues rectes afins es tallen en un punt de l'eix d'afinitat. Els punts situats en l'eix d'afinitat són punts dobles afins d'ells mateixos.

La raó d'afinitat és una constant K=PA'/PA essent P el punt doble, afí d'ell mateix, de la recta que uneix dos punts afins.

HOMOLOGIA

La homologia és una transformació geomètrica que fa correspondre a cada punt A un punt transformat A' alineat amb el centre d'homologia O.

Dues rectes homòlogues es tallen en un punt doble de l'eix d'homologia.

Invariant

En una transformació, una invariant és l'element (punt, recta, pla) o propietat que es transforma en si mateix, o que una vegada realitzada la transformació no es produeix cap canvi mantenint la característica o propietat que la defineix. Als elements (punts, rectes, plans) que són invariants s'és sol dir dobles, encara que és millor no utilitzar el terme doble, ja que encara que l'element queda transformat en un altre que coincideix amb el primer els punts que el constitueixen no tenen per què ser dobles. És per això que s'ha d'utilitzar millor el terme “element invariant” i deixar el terme “element doble” per a aquells que ho siguin en tots els seus punts.

Exemples d'elements invariants els tenim en l'homologia, o en les simetries axials o centrals on l’eix o  punt de simetria es troba sobre una recta o punt de la figura, i per tant es manté invariant.

PROPORCIONALITAT

Les relacions de proporció entre el dibuix i la realitat s’estableixen mitjançant escales.

Una escala és la relació mètrica existent entre la realitat i la seva representació.

L’escala es representa en el dibuix en una casella del caixetí de retolació en forma de fracció el més petita possible. Per exemple E = ¼

Tipus d’escales

- Escala d’ampliació: el dibuix és més gran que la realitat.

- Escala de reducció: el dibuix és més petit que la realitat.

- Escala real: el dibuix té la mateixa mida que la realitat.

D’altra banda, les escales poden ser numèriques o gràfiques.

- Les escales numèriques s’apliquen amb operacions matemàtiques. Qualsevol mesura de la realitat la multipliquem pel numerador i la dividim pel denominador.

- Les escales gràfiques poden ser de dos tipus: un escalímetre o una escala gràfica o escala volant.

L’escalímetre és un regle amb escales múltiples: 1/100, 1/250, 1/300, 1/400, 1/500...

L’escala gràfica també es poden representar de diferents formes.

Activitats aula d'informàtica: 

1. Dibuixa un mandala a Codymoose

2. Experimenta amb l'efecte caleidoscopi a zefrank
3. Fes un dibuix combinant simetries diferents a intelloware

Recursos

Al següent enllaç hi ha diferents procediments: Escales gràfiques

Apunts sobre transformacions geomètriques: Transformacions geomètriques - Relacions geomètriques 

Enllaç a les fitxes: Fitxes tema 4